Ποτέ μην πεις ποτέ στα… ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Του Κώστα Κέντζου

Υπάρχουν μερικές …παράξενες συμπτώσεις και μερικές συμπτώσεις που απλώς φαίνονται παράξενες. Γιατί ορισμένες συμπτώσεις, υπό τις κατάλληλες συνθήκες είναι βέβαιο ότι θα συμβούν. Σύμφωνα με το νόμο των πραγματικά μεγάλων αριθμών, σε ένα αρκετά μεγάλο μέγεθος δείγματος, κάθε απίθανο ενδεχόμενο είναι πιθανόν να συμβεί, όσο μικρή κι αν είναι η πιθανότητα αυτό να συμβεί την επόμενη φορά.

Όμως, ορισμένες φορές, ενώ υπάρχουν πραγματικά πολλές ευκαιρίες να συμβεί κάτι, φαίνεται σα να υπάρχουν λίγες. Αυτή η εσφαλμένη εκτίμηση έχει αποτέλεσμα τη χονδροειδή υποτίμηση της πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός: θεωρούμε ότι κάτι είναι απίθανο να συμβεί, όταν είναι στην πραγματικότητα πολύ πιθανό, σχεδόν σίγουρο.

Πώς μπορεί να υπάρχουν πολλές ευκαιρίες για να συμβεί κάτι και αυτό να μη γίνεται αντιληπτό; Η συνδυαστική, δηλαδή ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των πεπερασμένων και των άπειρων αλλά αριθμήσιμων διακριτών δομών, δίνει την απάντηση: ο αριθμός των συνδυασμών αλληλεπιδρώντων στοιχείων αυξάνεται εκθετικά (σ.σ. απότομα) με τον αριθμό των στοιχείων.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το «πρόβλημα των γενεθλίων», το οποίο θέτει το εξής ερώτημα: Πόσοι άνθρωποι πρέπει να βρίσκονται σε ένα δωμάτιο, ώστε να είναι περισσότερο πιθανό παρά απίθανο δύο από αυτούς να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα;

Η απάντηση είναι μόλις 23! Αν βρίσκονται 23 ή περισσότεροι άνθρωποι σε ένα δωμάτιο, τότε είναι πιο πιθανό δύο απ’ αυτούς να έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης, παρά να μην υπάρχει ένα τέτοιο ζευγάρι ανθρώπων στο δωμάτιο. Στους περισσότερους αυτό προκαλεί έκπληξη.

Ο αριθμός 23 φαίνεται πολύ μικρός. Ίσως κάποιος σκεφτεί ως εξής: Υπάρχει μόνο μία πιθανότητα στις 365 (όσες είναι οι μέρες του έτους) οποιοσδήποτε άλλος άνθρωπος μέσα στο δωμάτιο να έχει την ίδια ηλικία με τον άνθρωπο Α.

Αν υπάρχουν ν άνθρωποι στο δωμάτιο, με καθέναν από τους υπόλοιπους ν-1 να έχει πιθανότητα 364/365 να έχει διαφορετική ημερομηνία γέννησης από τον Α, τότε η πιθανότητα όλοι οι ν-1 άνθρωποι να έχουν διαφορετική ημερομηνία γέννησης από τον Α είναι 364/365 Χ 364/365 Χ 364/365 … Χ 364/365, δηλαδή το 364/365 πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του ν-1 φορές. Αν το ν είναι 23, τότε αυτό κάνει 0,94, δηλαδή 94%.

Επειδή αυτή είναι η πιθανότητα κανένας να μην έχει την ίδια ημερομηνία γέννησης με τον Α, η πιθανότητα να έχει γενέθλια την ίδια μέρα είναι 6%. Αυτό προκύπτει με τη λογική ότι είτε κάποιος έχει γενέθλια την ίδια μέρα με τον Α, είτε κανείς δεν έχει και γι’ αυτό οι πιθανότητες αυτών των δύο γεγονότων πρέπει να έχουν άθροισμα 100%. Όμως το 6% είναι πολύ μικρό.

Αυτός είναι ο λάθος τρόπος υπολογισμού επειδή η πιθανότητα κάποιος να έχει γενέθλια την ίδια μέρα με τον Α δεν είναι το πρόβλημα που τέθηκε. Το ερώτημα ήταν σχετικά με την πιθανότητα οποιοιδήποτε δύο άνθρωποι μέσα στο ίδιο δωμάτιο να έχουν μεταξύ τους την ίδια μέρα γέννησης.

Αυτό περιλαμβάνει την πιθανότητα ένας από τους άλλους να έχει γενέθλια την ίδια μέρα με τον Α, όπως υπολογίστηκε παραπάνω, αλλά περιλαμβάνει και την πιθανότητα ότι δύο ή περισσότεροι από τους άλλους ανθρώπους στο δωμάτιο να έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης, διαφορετική από του Α.

Εδώ είναι που υπεισέρχεται η συνδυαστική. Αν και υπάρχουν μόνο ν-1 άνθρωποι που θα μπορούσαν να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα με τον Α, υπάρχει ένα σύνολο ν Χ (ν-1)/2 ζευγών ανθρώπων στο δωμάτιο. Αυτός ο αριθμός ζευγαριών αυξάνεται γρήγορα καθώς μεγαλώνει ο αριθμός ν.

Όταν το ν γίνει 23, τότε τα ζεύγη γίνονται 253, που είναι 10 φορές μεγαλύτερο από το ν-1 που κάνει 22. Αυτό σημαίνει ότι αν υπάρχουν 23 άνθρωποι στο δωμάτιο, τότε υπάρχουν 253 πιθανά ζευγάρια ανθρώπων, αλλά μόνο 22 που περιέχουν τον Α.

Ας δούμε την πιθανότητα κανένας από τους 23 ανθρώπους στο δωμάτιο να μην έχει ίδια ημερομηνία γέννησης με κάποιον άλλο. Για δύο ανθρώπους, η πιθανότητα το δεύτερο άτομο να μην έχει ίδια ημερομηνία γέννησης με το πρώτο είναι 364/365.

Τότε η πιθανότητα αυτοί οι δύο να έχουν διαφορετική ημερομηνία και ένας τρίτος να μην έχει την ίδια ημερομηνία με κανέναν από τους δύο είναι 364/365 Χ 363/365.

Κατά τον ίδιο τρόπο, η πιθανότητα κανένας από τους τρεις να μην έχει ίδια ημερομηνία γέννησης με τον άλλο και ένας τέταρτος να μην έχει την ίδια ημερομηνία με κανέναν από τους πρώτους τρεις είναι 364/365 Χ 363/365 Χ 362/365.

Συνεχίζοντας έτσι, η πιθανότητα να μην έχει κανείς από τους 23 ανθρώπους γενέθλια την ίδια μέρα με κάποιον άλλο είναι 364/365 Χ 363/365 Χ 362/365 Χ 361/365… Χ 343/365.

Το γινόμενο αυτό κάνει 0,49, δηλαδή 49%. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα κάποιος να έχει γενέθλια την ίδια μέρα με κάποιον άλλο, είναι 51%. Δηλαδή είναι πιθανότερο να υπάρχουν δύο άνθρωποι με την ίδια ημερομηνία γέννησης, παρά να μην υπάρχουν…